为什么实对称矩阵相似一定合同

实对称矩阵相似一定合同的原因在于实对称矩阵具有一些特殊的性质：

1. 实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量也是实向量。

2. 实对称矩阵可以正交对角化，即存在一个正交矩阵P，使得$P^TAP$是对角矩阵。

3. 实对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的正负惯性指数，即特征值的正负个数相同。

由于相似变换意味着存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，而合同变换意味着存在一个可逆矩阵P，使得$B=P^TAP$。由于实对称矩阵可以通过正交变换对角化，这意味着相似变换中的P也是正交矩阵，从而保证了合同变换。

因此，实对称矩阵在相似变换下保持其形式不变，即相似一定合同。而一般矩阵可能不具备这些性质，所以相似不一定合同

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